Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) thỏa $f(0)=f(1)=f(2)$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $c$ để hàm số $g(x)=f(f(x^2+2))$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ là

Chọn A.
Từ điều kiện $f(0)=f(1)=f(2)=c$, ta xác định được hàm $f(x)$.
Khảo sát điều kiện để hàm hợp $g(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$, ta tìm được tập giá trị của $c$, từ đó tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $c$ bằng $1$.