Cho hàm số $f(x)=\frac{2\sqrt{x+1}+m}{\sqrt{x+1}+1}$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;3]$ không vượt quá $3$. Số phần tử của $S$ bằng

Chọn A.
Đặt $t=\sqrt{x+1}$. Với $x\in [0;3]\Rightarrow t\in [1;2]$.
Hàm số trở thành $g(t)=\frac{2t+m}{t+1}$ trên đoạn $[1;2]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(t)=\frac{2-m}{(t+1{)}^2}$.
- Nếu $m=2$ thì $g(t)=2\le 3$ (thỏa mãn).
- Nếu $m<2$ thì hàm số đồng biến trên $[1;2]$, suy ra $\max g(t)=g(2)=\frac{4+m}{3}\le 3\iff m\le 5$ (kết hợp được $m<2$).
- Nếu $m>2$ thì hàm số nghịch biến trên $[1;2]$, suy ra $\max g(t)=g(1)=\frac{2+m}{2}\le 3\iff m\le 4$.
Kết hợp các trường hợp và điều kiện bài toán, ta tìm được tập các giá trị nguyên của $m$ gồm 7 phần tử.