Cho hàm số $f(x)=\left(\frac{\cos 2x+\sin x}{\sin x-1}-1\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-\frac{3m+1}{2}\right)$ với $m$ là tham số. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số $f(x)+\sin x\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $4\pi$.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) $\forall m\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ thì phương trình $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x)$ là $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy a) đúng.

b) Ta có: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos 2x+1}{\sin x-1}\right)\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-3m-1\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x-1}.(\cos x-3m)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$. Do đó hàm số $f(x)+\sin x.\cos x=3m\sin x-\cos x+3m$. Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ đều bằng $2\pi$ nên chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$ cũng bằng $2\pi$. Vậy b) sai.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0\Rightarrow \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) sai.

d) Ta có $f(x)=0\iff \left[\begin{array}{cc}\sin x=-1& (1)\\ \cos x=3m& (2)\end{array}\right]$. $(1)\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$. PT $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi PT (2) có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $0<3m<1\iff 0<m<\frac{1}{3}$. Vậy d) đúng.
a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x)$ là $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy a) đúng.
b) Ta có: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos 2x+1}{\sin x-1}\right)\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-3m-1\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x-1}.(\cos x-3m)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$
Do đó hàm số $f(x)+\sin x.\cos x=3m\sin x-\cos x+3m$
Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ đều bằng $2\pi$ nên chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$ cũng bằng $2\pi$. Vậy b) sai.
c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0\Rightarrow \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) sai.
d) Ta có $f(x)=0\iff \left[\begin{array}{cc}\sin x=-1& (1)\\ \cos x=3m& (2)\end{array}\right]$.
$(1)\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.
PT $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi PT (2) có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $0<3m<1\iff 0<m<\frac{1}{3}$. Vậy d) đúng.