Cho hàm số $f(x)$, biết $f(1)=1,f^{\prime }(x)=\frac{2x}{3x+1-\sqrt{3x+1}}$ với $x>0$. Khi đó ${\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow t^2=3x+1\Rightarrow 2tdt=3dx$ và $x=\frac{t^2-1}{3}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2(t^2-1)}{3(t^2-t)}=\frac{2(t-1)(t+1)}{3t(t-1)}=\frac{2(t+1)}{3t}=\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3\sqrt{3x+1}}$. Lấy nguyên hàm ta tìm được $f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}$. Tính tích phân ${\int }_1^{5}f(x)dx$ cho kết quả bằng $\frac{916}{9}$. Chọn D.