Cho hàm số $f(x)$, biết hàm số $y=f^{\prime \prime }(x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên.



Đặt $g(x)=2f\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+f(-x^2+6)$, với $g(0)>0$ và $g(2)<0$. Số điểm cực tiểu của hàm số $y=|g(x)|$ là

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime \prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime \prime }(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ hàm số $y=f^{\prime }(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-2x{f}^{\prime }(-x^2+6)=2x\left[f^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-f^{\prime }(-x^2+6)\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=f^{\prime }(-x^2+6)\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ \frac{1}{2}{x}^2=-x^2+6\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=-2\end{array}$.
Vì hàm số $g(x)$ chẵn trên $\mathbb{R}$, có $g(0)>0$ và $g(2)=g(-2)<0$, nên đồ thị hàm số $g(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Do đó đồ thị hàm số $y=|g(x)|$ có 4 điểm cực tiểu (chính là 4 giao điểm với trục hoành có giá trị bằng 0).