Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $2^{x^2+y^2+1}\le (x^2+y^2-2x+2)\cdot 4^x$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}$ gần nhất với số nào dưới đây?

Bất phương trình tương đương:
$\frac{2^{x^2+y^2+1}}{2^{2x}}\le x^2+y^2-2x+2\iff 2^{x^2+y^2-2x+1}\le (x^2+y^2-2x+1)+1$.
Đặt $t=x^2+y^2-2x+1=(x-1{)}^2+y^2\ge 0$.
BPT trở thành $2^t\le t+1\iff 2^t-t-1\le 0$.
Xét hàm số $f(t)=2^t-t-1$ với $t\ge 0$, ta có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2-1=0\iff t={\log }_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\approx 0,53$.
Vì $f(0)=0$ và $f(1)=0$, nên $f(t)\le 0\iff 0\le t\le 1$.
Do đó $(x-1{)}^2+y^2\le 1$. Tập hợp các điểm $M(x;y)$ là hình tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=1$.
Biểu thức $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\iff (2P-8)x-Py+P-4=0$ (đường thẳng $\Delta$).
Để $\Delta$ và hình tròn có điểm chung thì $d(I,\Delta )\le R=1$:
$\frac{|(2P-8)\cdot 1-P\cdot 0+P-4|}{\sqrt{(2P-8{)}^2+(-P{)}^2}}\le 1\iff \frac{|3P-12|}{\sqrt{5P^2-32P+64}}\le 1$
$\iff (3P-12{)}^2\le 5P^2-32P+64\iff 9P^2-72P+144\le 5P^2-32P+64$
$\iff 4P^2-40P+80\le 0\iff P^2-10P+20\le 0\iff 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$.
Giá trị lớn nhất của $P$ là $5+\sqrt{5}\approx 7,236$, gần nhất với $7$.