Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+3x+a& \text{khi }x\ge 0\\ bx+5& \text{khi }x<0\end{array}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ ($a,b$ là các tham số thực). Tích phân $I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(2\cos x+1)\sin xdx$ bằng

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ liên tục tại $x=0$ và có đạo hàm tại $x=0$:
- Tính liên tục:
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=f(0)\iff a=5$$
- Đạo hàm tại $x=0$:
$$f_{+}^{\prime }(0)={(4x+3)|}_{x=0}=3,f_{-}^{\prime }(0)=b\Rightarrow b=3$$
Xét tích phân $I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(2\cos x+1)\sin xdx$:
Đặt $t=2\cos x+1\Rightarrow dt=-2\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-\frac{1}{2}dt$.
Đổi cận:
- $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$
- $x=\pi \Rightarrow t=-1$
Khi đó:
$$I={\int }_1^{-1}f(t)\left(-\frac{1}{2}dt\right)=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(t)dt=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-1}^0(3t+5)dt+{\int }_0^1(2t^2+3t+5)dt\right]$$
$$=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{3t^2}{2}+5t\right)|}_{-1}^0+{\left(\frac{2t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+5t\right)|}_0^1\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{7}{2}+\frac{43}{6}\right]=\frac{16}{3}$$
Chọn đáp án A.