Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& \text{khi }x>1\\ m{x}^{2025}-2024& \text{khi }x\le 1\end{array}$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x>1\\ m{x}^{2025}-2024& x\le 1\end{array}$.

a) Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ liên tục; với $x<1$: $m{x}^{2025}-2024$ liên tục với mọi $m$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$, còn $f(1)=m-2024$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $m-2024=2⟺m=2026$. Vậy hàm số KHÔNG liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$ → khẳng định a) Sai.

b) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$ → Đúng.

c) Theo a), hàm liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$ → Đúng.

d) Với $x\to 0$ (nằm trong miền $x\le 1$): ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0^{2025}-2024=-2024\ne 1$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp với đáp án mã đề 1102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ còn $f(1)=m-2024$; hàm chỉ liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=m-2024=2⟺m=2026$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le 1$ nên ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0-2024=-2024\ne 1$.