Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{khi }x<-1\\ \sqrt{x^2+1}& \text{khi }x\ge -1\end{array}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2,& x<-1\\ \sqrt{x^2+1},& x\ge -1\end{array}$:
a) Khi $x\to -2$ (thuộc miền $x<-1$), ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → Sai.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-1-2=-3$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$. Vì giới hạn trái $\ne$ giới hạn phải nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, không thể bằng $-3$ → Sai.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → Đúng.
d) Vì giới hạn trái $(-3)$ khác giới hạn phải $(\sqrt{2})$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2$ thuộc miền $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng $-3$, giới hạn phải bằng $\sqrt{2}$, hai vế khác nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ge -1$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$.