Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x-1& x\ge 0\\ 2x^2-1& x<0\end{array}$. Tính $I={\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{f^{\prime }(\ln x)\ln x}{x}dx$.

Chọn C.
Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$.
Đổi cận: khi $x=\frac{1}{e}\Rightarrow t=-1$; khi $x=e\Rightarrow t=1$.
Khi đó:
$I={\int }_{-1}^{1}t\cdot f^{\prime }(t)dt={\int }_{-1}^{1}td(f(t))={t\cdot f(t)|}_{-1}^1-{\int }_{-1}^{1}f(t)dt=f(1)+f(-1)-{\int }_{-1}^{1}f(t)dt.$
Ta có:
$f(1)=1^2+1-1=1$; $f(-1)=2(-1{)}^2-1=1$.
Tính tích phân:
${\int }_{-1}^{1}f(t)dt={\int }_{-1}^0(2t^2-1)dt+{\int }_0^1(t^2+t-1)dt={\left(\frac{2t^3}{3}-t\right)|}_{-1}^0+{\left(\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t\right)|}_0^1$
$=-\left(-\frac{2}{3}+1\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}.$
Theo lời giải chính thức:
$I=f(1)+f(-1)+{\int }_{-1}^{1}f(t)dt=1+1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$