Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau



Biết $f(0)=0$, số nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{6};\frac{7\pi }{3}\right]$ của phương trình $f\left(f\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)\right)=1$ là

Đặt $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\in [-2;2]$, khi đó $f(t)\in [-2;2]$. Phương trình $f(u)=1$ với $u\in [-2;2]$ có nghiệm duy nhất $u=u_0\in (-2;0)$. Phương trình $f(t)=u_0\in (-2;0)$ với $t\in [-2;2]$ có nghiệm duy nhất $t=t_0\in (0;2)$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{6};\frac{7\pi }{3}\right]$, $x+\frac{\pi }{6}\in \left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ nên phương trình $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=t_0\in (0;2)$ có đúng $3$ nghiệm.