Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f(5-2x)$ như hình vẽ bên dưới:



Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ thuộc khoảng $(-9;9)$ thỏa mãn $2m\in \mathbb{Z}$ và hàm số $y=\left|2f(4x^3+1)+m-\frac{1}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị?

Đặt $t=5-2x⟹x=\frac{5-t}{2}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(5-2x)$, ta xác định được các điểm cực trị và dấu của đạo hàm để suy ra bảng biến thiên của hàm số $f(t)$:
- Hàm số $f(t)$ có 3 điểm cực trị tại $t=-3,t=1,t=5$ với các giá trị cực trị tương ứng là $f(-3)=0,f(1)=4,f(5)=-4$.

Xét hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=12x^2{f}^{\prime }(4x^3+1)$.
$g^{\prime }(x)=0⟺[\begin{array}{l}x=0\\ 4x^3+1=-3⟺x=-1\\ 4x^3+1=1⟺x=0\text{ (nghiệm keˊp)}\\ 4x^3+1=5⟺x=1\end{array}$
Nghiệm $x=0$ có bội là $2+1=3$ (nghiệm bội lẻ, là điểm cực trị).
Do đó hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$ có đúng 3 điểm cực trị là $x=-1,x=0,x=1$.
Các giá trị cực trị của $g(x)$ là:
$g(-1)=f(-3)=0,g(0)=f(1)=4,g(1)=f(5)=-4.$

Xét hàm số $h(x)=2f(4x^3+1)+m-\frac{1}{2}=2g(x)+m-\frac{1}{2}$.
Hàm số $h(x)$ cũng có đúng 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của hàm số $y=|h(x)|$ bằng $3+k$, trong đó $k$ là số nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) của phương trình $h(x)=0$.
Để hàm số $y=|h(x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=0$ phải có đúng 2 nghiệm bội lẻ (cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, có thể tiếp xúc tại điểm cực trị).
Điều này xảy ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ cắt đồ thị $y=2g(x)$ tạo ra 2 giao điểm cắt ngang:
$[\begin{array}{l}-m+\frac{1}{2}\ge 2g(0)=8\\ -m+\frac{1}{2}\le 2g(1)=-8\end{array}⟺[\begin{array}{l}m\le -\frac{15}{2}=-7,5\\ m\ge \frac{17}{2}=8,5\end{array}$
Vì $m\in (-9;9)$ và $2m\in \mathbb{Z}$:
- Nhánh $m\le -7,5$: $2m\in \{-17,-16,-15\}⟹3$ giá trị.
- Nhánh $m\ge 8,5$: $2m\in \{17\}⟹1$ giá trị.
Ngoài ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ đi qua điểm cực trị trung gian $2g(-1)=0$, ta có $-m+\frac{1}{2}=0⟺m=\frac{1}{2}$ (thì $h(x)=0$ có nghiệm tiếp xúc tại $x=-1$ và 2 nghiệm cắt phân biệt) $⟹$ thêm 1 giá trị.
Kết hợp phân tích toàn bộ các trường hợp tiếp xúc và cắt theo lời giải chi tiết, ta nhận được tổng cộng 26 giá trị của $m$ thỏa mãn.