Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ thỏa mãn $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Biết rằng mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=25$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ là

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Kết hợp với giả thiết $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$, ta thấy tọa độ điểm $H(1;-1;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(ABC)$, do đó mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua điểm cố định $H(1;-1;1)$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;3)$ và bán kính $R=5$.

Độ dài đoạn thẳng $IH$ là: $IH=\sqrt{(1-2{)}^2+(-1-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(ABC)$, khoảng cách từ $I$ đến $(ABC)$ là:
$d(I,(ABC))=IK=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$
Vì $IK=IH=3$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(ABC)$ nên $K\equiv H$, suy ra $IH\perp (ABC)$.

Do đó vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ cùng phương với $\overrightarrow{IH}=(-1;-2;-2)=-(1;2;2)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $H(1;-1;1)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ là:
$1(x-1)+2(y+1)+2(z-1)=0⟺x+2y+2z-1=0⟺x+2y+2z=1$
Đưa về phương trình đoạn chắn:
$\frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{z}{\frac{1}{2}}=1.$
Suy ra $a=1,b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$.

Vậy $a+b+c=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$.