Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[f^{\prime }(x){]}^2\text{d}x=\frac{\pi }{4}$, ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\cdot f(x)\text{d}x=\frac{\pi }{4}$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\text{d}x$.