Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3^x+5^x+7^x-28x^2+16x-3$ trên $(-\infty ;+\infty )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2024;2024]$ để hàm số $g(x)=F(4x^3+m{x}^2+1)$ có đúng 5 điểm cực trị?

Ta có $g^{\prime }(x)=(12x^2+2mx)F^{\prime }(4x^3+m{x}^2+1)=2x(6x+m)f(4x^3+m{x}^2+1)$. Khảo sát hàm số $f(t)=3^t+5^t+7^t-28t^2+16t-3$, ta tìm được số nghiệm của $f(t)=0$. Để $g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình hoành độ phải có thêm 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của $2x(6x+m)=0$. Khảo sát tham số $m$ ta tìm được 8 giá trị nguyên của $m$. Vậy chọn A.