Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Chọn đáp án A
Ta có:
$f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4\iff [(x+1)f(x){]}^{\prime }=4x^3-6x^2-2x+4$
Lấy nguyên hàm hai vế:
$(x+1)f(x)=x^4-2x^3-x^2+4x+C=(x+1)(x^3-3x^2+2x)+C$.
Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên tại $x=-1$ vế trái bằng 0, suy ra $C=0$.
Do đó $f(x)=x^3-3x^2+2x$.
Suy ra $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$f(x)=f^{\prime }(x)\iff x^3-6x^2+8x-2=0$ (hoặc giải ra các nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$).
Tính tích phân diện tích hình phẳng: $S=\int |f(x)-f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x=8$.