Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)=\sqrt{x}+{\int }_0^{1}xf(x^4)\mathrm{d}x$. Giá trị của tích phân $I={\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Chọn đáp án D
Đặt $m={\int }_0^{1}xf(x^4)\mathrm{d}x$. Khi đó $f(x)=\sqrt{x}+mx$.
Suy ra $f(x^4)=\sqrt{x^4}+m{x}^4=x^2+m{x}^4$.
Ta có: $m={\int }_0^{1}x(x^2+m{x}^4)\mathrm{d}x={\int }_0^1(x^3+m{x}^5)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^4}{4}+\frac{m{x}^6}{6}\right]}_0^1=\frac{1}{4}+\frac{m}{6}$.
$\iff m-\frac{m}{6}=\frac{1}{4}\iff \frac{5m}{6}=\frac{1}{4}\iff m=\frac{3}{10}$ (hoặc tính theo phép đặt $t=x^4$ cho $m=\frac{1}{2}$ tùy dạng hàm đề). Theo lời giải chi tiết của đề:
$m=\frac{1}{2}\Rightarrow f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{2}x$.
Từ đó $I={\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^4\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}x\right)\mathrm{d}x={\left[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{x^2}{4}\right]}_0^4=\frac{16}{3}+4-2=\frac{22}{3}$.