Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{x^2-1}{81}\right)<{\log }_3\left(\frac{x^2-1}{16}\right)$?

Chọn đáp án C
Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là $x^2-1>0\iff [\begin{array}{rl}x& >1\\ x& <-1\end{array}$
Ta có:
${\log }_2\left(\frac{x^2-1}{81}\right)<{\log }_3\left(\frac{x^2-1}{16}\right)\iff {\log }_2(x^2-1)-{\log }_{2}81<{\log }_3(x^2-1)-{\log }_{3}16$
$\iff {\log }_{2}3\cdot {\log }_3(x^2-1)-4{\log }_{2}3<{\log }_3(x^2-1)-4{\log }_{3}2$
$\iff ({\log }_{2}3-1){\log }_3(x^2-1)<4({\log }_{2}3-{\log }_{3}2)$
$\iff {\log }_3(x^2-1)<\frac{4({\log }_{2}3-{\log }_{3}2)}{{\log }_{2}3-1}=4\left(1+\frac{1}{{\log }_{2}3}\right)=4(1+{\log }_{3}2)=4{\log }_{3}6={\log }_3{6}^4$
$\iff x^2-1<1296\iff x^2<1297\iff -\sqrt{1297}<x<\sqrt{1297}$.
Vì $\sqrt{1297}\approx 36,01$ và $x\in \mathbb{Z}$, kết hợp điều kiện $x>1$ hoặc $x<-1$:
$x\in \{-36;-35;\dots ;-2\}\cup \{2;3;\dots ;36\}$.
Tổng số giá trị nguyên của $x$ là $35+35=70$.