Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $(1-x)f(2x-x^2)+f(1-x)=-x^3+3x^2-x-1,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x$.

Chọn B.
Đặt $t=1-x⟹x=1-t$. Khi đó $2x-x^2=1-(1-x{)}^2=1-t^2$ và $-x^3+3x^2-x-1=t^3-2t$.
Phương trình đã cho trở thành:
$tf(1-t^2)+f(t)=t^3-2t,\forall t\in \mathbb{R}.$
Lấy tích phân hai vế trên đoạn $[0;1]$, ta có:
${\int }_0^{1}tf(1-t^2)\mathrm{d}t+{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^1(t^3-2t)\mathrm{d}t=-\frac{3}{4}.$
Đặt $u=1-t^2⟹{\int }_0^{1}tf(1-t^2)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(u)\mathrm{d}u$.
Do đó $\frac{3}{2}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=-\frac{3}{4}⟹{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}$.
Mặt khác, đặt $u=\sin x$ trong $I$, ta được $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(u)\mathrm{d}u=-\frac{1}{2}$.