Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$ (thiếu $-1$). Mệnh đề SAI.

b) Xét $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$. Mệnh đề SAI.

c) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là $F(x)=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$. Mệnh đề đưa ra $F(x)=x^2-x-\ln |x|+C$ (hệ số của $x^2$ sai). Mệnh đề SAI.

d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$ và $F(1)=\frac{1}{2}-1-0+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$. Mệnh đề SAI.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án bảng HD chấm (đề 104, Phần II Câu 2: S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(1)=3$ suy ra $C=\frac{7}{2}$, do đó $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.