Cho hàm số $f(x)=x-\sin 2x$.

a) Đúng. Ta có $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}-\sin (-\pi )=-\frac{\pi }{2}$ và $f(\pi )=\pi -\sin (2\pi )=\pi$.
b) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=1-2\cos 2x$.
c) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$, phương trình có tập nghiệm $T=\left\{-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$.
d) Đúng. Ta có $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$, $f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f(\pi )=\pi$.
Do đó ${\max }_{\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]}f(x)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ và ${\min }_{\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]}f(x)=-\frac{\pi }{2}$.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.