Cho hàm số $f(x)=x-3\sqrt[3]{x+1}+m$, đặt $P={\max }_{[-1;26]}[f(x){]}^2+{\min }_{[-1;26]}[f(x){]}^2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $P\le 2021$?

Chọn B.
Xét hàm số $g(x)=x-3\sqrt[3]{x+1}$ trên $[-1;26]$.
Đặt $t=\sqrt[3]{x+1}\in [0;3]$, ta có $x=t^3-1$, suy ra $h(t)=t^3-3t-1$.
$h^{\prime }(t)=3t^2-3=0\iff t=1$.
Ta có $h(0)=-1,h(1)=-3,h(3)=17$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ là $-3$, giá trị lớn nhất là 17.
Tìm được 61 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $P\le 2021$.