Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Vì các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau $60^{\circ }$ nên $SO\perp (ABCD)$.
Đáy có đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow OA=\frac{5}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOA$:
$$SO=OA\tan 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2},SA=\frac{OA}{\cos 60^{\circ }}=5.$$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
$$R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{25}{2\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$$