Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $g(x)=f(|x|)+m$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt.

Phương trình $f(|x|)+m=0\iff f(|x|)=-m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $f(t)=-m$ có $2$ nghiệm dương phân biệt. Xét $f(t)=t^3-3t^2$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f(0)=0,f_{\min }=f(2)=-4$, nên $-4<-m<0\iff 0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, tổng các giá trị nguyên của $m$ bằng $1+2+3=6$.