Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-2019;2019]$ để phương trình $x^2+(m+2)x+4=(m-1)\sqrt{x^3+4x}$ có nghiệm là?

Điều kiện $x>0$ (vì $x=0$ không là nghiệm). Chia hai vế cho $x$ và đặt $t=\sqrt{x+\frac{4}{x}}\ge 2$, phương trình trở thành $t^2+m+2=(m-1)t\iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1}=g(t)$ với $t\ge 2$. Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{t^2-2t-3}{(t-1{)}^2}=0\iff t=3\in [2;+\infty )$, suy ra ${\min }_{[2;+\infty )}g(t)=g(3)=7$. Phương trình có nghiệm khi $m\ge 7$, kết hợp $m\in [-2019;2019]\cap \mathbb{Z}$ có $2019-7+1=2013$ giá trị.