Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+e^m$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;2]$ bằng $0$; khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng

Xét hàm số $f(x)=x^3-3x+e^m$ trên đoạn $[0;2]$:
$f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Trên đoạn $[0;2]$ ta nhận nghiệm $x=1$.
Tính các giá trị tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:
$f(0)=e^m$;
$f(1)=1-3+e^m=e^m-2$;
$f(2)=8-6+e^m=e^m+2$.
Do đó ${\min }_{[0;2]}f(x)=f(1)=e^m-2$.
Theo bài ra ta có ${\min }_{[0;2]}f(x)=0\iff e^m-2=0\iff e^m=2$.
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là:
$$\underset{[0;2]}{\max }f(x)=f(2)=e^m+2=2+2=4$$
Chọn đáp án D.