Cho hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^2+4}$. Hỏi phương trình $f(4{\cos }^{2}x-5)\cdot f(4-2\cos x)=4$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$?

Hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(t)f(-t)=4$. Phương trình tương đương $4{\cos }^{2}x-5=-(4-2\cos x)\iff 4{\cos }^{2}x-2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, phương trình $\cos x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\in (0;1)$ có $4$ nghiệm và $\cos x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\in (-1;0)$ có $3$ nghiệm, tổng cộng $7$ nghiệm.