Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(x-5)\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=\left|f(x^2+1)-m\right|$ có nhiều điểm cực trị nhất?

Chọn A.
Xét hàm số $h(x)=f(x^2+1)$. Ta có $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)=2x(x^2-1)(x^2+3)(x^2-4)=0⟺x\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$.
Do đó $h(x)$ có $5$ điểm cực trị. Với $f(1)=0$, ta có:
- $h(0)=f(1)=0$;
- $h(\pm 1)=f(2)={\int }_1^2(t^3-5t^2-4t+20)dt=\frac{73}{12}\approx 6,083$;
- $h(\pm 2)=f(5)={\int }_1^5(t^3-5t^2-4t+20)dt=-\frac{56}{3}$.
Để hàm số $g(x)=|h(x)-m|$ có nhiều điểm cực trị nhất (gồm $5+6=11$ điểm cực trị), đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $6$ điểm phân biệt, tức là $0<m<\frac{73}{12}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị nguyên.