Cho $x,y,z\in [0;2]$ và thỏa mãn $x+2y+z=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3^{2x-x^2}+5^{2y-y^2}+3^z+2x^2+4y^2$.

Chọn B.
Với $t\in [0;2]$, đặt $u=2t-t^2=1-(t-1{)}^2\in [0;1]$. Với mọi $a>1$ và $u\in [0;1]$, ta có $a^u\le 1+(a-1)u=a-(a-1)(t-1{)}^2$.
Áp dụng cho $x,y\in [0;2]$:
- $3^{2x-x^2}+2x^2\le 3-2(x-1{)}^2+2x^2=4x+1$;
- $5^{2y-y^2}+4y^2\le 5-4(y-1{)}^2+4y^2=8y+1$.
Mặt khác, với $z\in [0;2]$, ta có $(3^z-1)(3^z-9)\le 0⟹3^z\le 4z+1$.
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được $P\le 4(x+2y+z)+3=4\cdot 6+3=27$.
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi $x=2,y=1,z=2$. Vậy $\max P=27$.