Cho hàm số $y=\sin 2x$. Chứng minh $4y+y^{\prime \prime }=0$.

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức $s(t)=\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây.

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x\sqrt{x^2+1}$.

b) Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{2}$. Chứng minh rằng $2y\cdot y^{\prime \prime }-1={\left(y^{\prime }\right)}^2$.

Trong 3 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=-t^3+6t^2+t+5$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu m/s trong 3 giây đầu tiên đó?

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=500\left(t^2+m{e}^{-t}\right)$, với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m\le 0$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng bao nhiêu?

Thể tích nước của một bể bơi sau $t$ phút bơm được tính theo công thức $V(t)=\frac{1}{100}\left(30t^3-\frac{t^4}{4}\right)\left(m^3\right)\left(0\le t\le 90\right)$. Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t$ được tính bởi $v(t)=V^{\prime }(t)$.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\sin 3x$. Tính $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)$.