Cho hàm số $y=\frac{ax-2}{cx+d}$ với $a,c,d\in \mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.



Giá trị nguyên âm lớn nhất mà $c$ có thể nhận là

Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=-1$.
Suy ra:
$\{\begin{array}{l}\frac{a}{c}=3\\ -\frac{d}{c}=-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=3c\\ d=c\end{array}$
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
$y^{\prime }=\frac{ad+2c}{(cx+d{)}^2}>0⟹3c^2+2c>0⟹c(3c+2)>0⟹c\in \left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right)\cup (0;+\infty ).$
Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất mà $c$ có thể nhận là $c=-1$.