Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số đạt cực tiểu tại

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $a^{\frac{5}{3}}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log (1000a)$ bằng

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ thì ${\int }_0^{1}2f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=e^{3x}$. Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$ là

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x=\frac{1}{3}$ là

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và $u_2=5$. Giá trị của $u_3$ bằng

Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $r=4$ và chiều cao $h=3$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Đạo hàm của hàm số $y={\log }_{5}x$ trên khoảng $(0;+\infty )$ là

Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Cho $a$ và $b$ là các số thực dương tùy ý. Nếu $a^{\frac{1}{2}}>a^{\frac{1}{3}}$ và $b^{\frac{2}{3}}>b^{\frac{3}{4}}$ thì

Cho khối chóp có thể tích bằng $30{\text{ cm}}^3$ và chiều cao bằng $6\text{ cm}$. Diện tích đáy của khối chóp đó bằng

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $3^{16-x^2}\ge 81$.

Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Biết xác suất để trong 3 số được chọn có ít nhất một số chẵn bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố. Tổng $a+b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+3)(x+2{)}^3(x^2-4)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Nghiệm của phương trình $(2,4{)}^{3x+1}={\left(\frac{5}{12}\right)}^{x-9}$ là

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước là $3,4,5$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Số nghiệm của phương trình $4f^2(x)-9=0$ là

Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác đều có cạnh $4\sqrt{3}\text{ cm}$. Thể tích của khối nón đó là

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{(x-1)\sqrt{x-2}}{x^2-4}$ bằng

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$. Thương $\frac{M}{m}$ bằng

Cho khối hộp đứng $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, đường thẳng $A{C}_1$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối hộp đã cho.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $A^{\prime }M=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{EB}$. Khi đó thể tích khối tứ diện $EBCD$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{ax-2}{cx+d}$ với $a,c,d\in \mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.



Giá trị nguyên âm lớn nhất mà $c$ có thể nhận là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$. Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Biết diện tích tam giác $A^{\prime }BC$ bằng $2a^2\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$, $x=4$. Đường thẳng $x=k$ ($0<k<4$) chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ. Để $S_1=4S_2$ thì giá trị $k$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)-f(x)=e^x$ và $f(0)=1$. Tính $f(1)$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3$, $BC=2$, $A{A}^{\prime }=1$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(AI{D}^{\prime })$ bằng

Gọi $X$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-45m-2$ cùng với đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{x}^2+x+1$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_1,S_2$ thỏa mãn $S_1=S_2$ (xem hình vẽ). Số phần tử của tập $X$ là

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn điều kiện ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=8$ và ${\int }_0^1[f(x)+2g(x)]dx=11$. Giá trị của biểu thức ${\int }_{2021}^{2022}f(2022-x)dx+5{\int }_0^{\frac{1}{3}}g(3x)dx$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh là $a$. Mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$ cắt các cạnh $BC,CD,D{D}^{\prime },D^{\prime }{A}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }B$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q,R,S$. Thể tích khối chóp $A.MNPQRS$ bằng

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=3a,AC=4a,BC=5a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $4a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích $V$ của khối chóp $A.BCNM$ là

Cho hình nón $(T)$ đỉnh $S$, chiều cao bằng $2$, đáy là đường tròn $(C_1)$ tâm $O$, bán kính $R=2$. Khi cắt $(T)$ bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn $SO$ và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn $(C_2)$ tâm $I$. Lấy hai điểm $A$ và $B$ lần lượt nằm trên hai đường tròn $(C_2)$ và $(C_1)$ sao cho góc giữa $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là $60^{\circ }$. Thể tích của khối tứ diện $IAOB$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+36$. Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=f^{\prime }(x)$ và $Ox$ giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $2,3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $Ox$ bằng $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tổng $m+n$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+2x+1$ và đường thẳng $y=(m+1)x+5$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(e^x-1)-x-m=0$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, có thể tích là $V$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$, $N$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SN=3NB$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi đi qua các điểm $M,N$ và cắt các cạnh $SC,SD$ lần lượt tại hai điểm phân biệt $P,Q$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.MNPQ$.

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $1<a<b\le 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3{\log }_a(b^2+16b-16)+\frac{16}{27}{\log }_{\frac{b}{a}}^{3}a$.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có bảng biến thiên như sau:



Tìm $m$ để phương trình $|f(x-1)+2|=m$ có 4 nghiệm thỏa mãn $x_1<x_2<x_3<1<x_4$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Một mặt cầu $(J)$ ($J$ và $S$ cùng phía với $(ABCD)$) tiếp xúc với $(ABCD)$ tại $A$, đồng thời tiếp xúc ngoài với mặt cầu nội tiếp hình chóp. Một mặt phẳng $(P)$ đi qua $J$ và $BC$. Gọi $\phi$ là góc giữa $(P)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \phi$ biết các đường chéo của thiết diện của hình chóp cắt bởi $(P)$ lần lượt cắt và vuông góc với $SA,SD$.