Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+2x+1$ và đường thẳng $y=(m+1)x+5$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+(1-m)x-4=0$.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ với mọi $m$.
Ta có: $x_2-x_1=\sqrt{(m-1{)}^2+16}\ge 4$.
Diện tích hình phẳng:
$S=\frac{(x_2-x_1{)}^3}{6}\ge \frac{4^3}{6}=\frac{32}{3}.$
Dấu bằng xảy ra khi $m=1$. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{32}{3}$.