Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(e^x-1)-x-m=0$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Phương trình tương đương $h(x)=f(e^x-1)-x=m$.
Ta có $h^{\prime }(x)=e^x{f}^{\prime }(e^x-1)-1$.
$h^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(e^x-1)=e^{-x}$. Đặt $t=e^x-1>-1$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t+1}$.
Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm duy nhất $t=0⟺x=0$.
Hàm số $h(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị cực tiểu $h(0)=f(0)$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>f(0)$.