Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3$, $BC=2$, $A{A}^{\prime }=1$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(AI{D}^{\prime })$ bằng

Kẻ $DK\perp AI$ tại $K$, kẻ $DH\perp D^{\prime }K$ tại $H$.
Vì $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $AI\perp (D{D}^{\prime }K)⟹DH\perp AI$.
Kết hợp $DH\perp D^{\prime }K$ suy ra $DH\perp (AI{D}^{\prime })$, do đó $d(D,(AI{D}^{\prime }))=DH$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$:
$AI=\sqrt{A{B}^2+B{I}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.
Diện tích tam giác $ADI$:
$S_{ADI}=S_{ABCD}-S_{ABI}-S_{CDI}=3\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=6-\frac{3}{2}-1=\frac{7}{2}?$
Chờ chút! Trong $ABCD$: $AD=BC=2,CD=AB=3$, $I$ thuộc $BC$ nên $CI=1$. Diện tích $\Delta CDI=\frac{1}{2}CD\cdot CI=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=\frac{3}{2}$.
Do đó $S_{ADI}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$.
Khoảng cách $DK=\frac{2S_{ADI}}{AI}=\frac{6}{\sqrt{10}}$.
Tam giác $D{D}^{\prime }K$ vuông tại $D$ có đường cao $DH$:
$\frac{1}{D{H}^2}=\frac{1}{D{D}^{\prime 2}}+\frac{1}{D{K}^2}=1+\frac{10}{36}=\frac{23}{18}⟹DH=\frac{3\sqrt{46}}{23}.$