Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh là $a$. Mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$ cắt các cạnh $BC,CD,D{D}^{\prime },D^{\prime }{A}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }B$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q,R,S$. Thể tích khối chóp $A.MNPQRS$ bằng

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua tâm $O$ của hình lập phương và song song với $(A^{\prime }BD)$.
Thiết diện $MNPQRS$ là lục giác đều có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tương ứng, cạnh lục giác là $x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích lục giác đều: $S_{MNPQRS}=6\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.
Khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha )$ là $AO=\frac{A{C}^{\prime }}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V=\frac{1}{3}{S}_{MNPQRS}\cdot AO=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}.$