Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của đạo hàm $y^{\prime }$ như sau:



Bất phương trình $f(x)<e^x+m$ đúng với mọi $x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi

Bất phương trình $f(x)<e^x+m\iff f(x)-e^x<m$ đúng với mọi $x\in (-1;1)$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)-e^x$ trên $[-1;1]$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-e^x$.
Từ bảng biến thiên của $y^{\prime }$, trên khoảng $(-1;1)$ ta có $f^{\prime }(x)\le 0$, trong khi $e^x>0$, suy ra:
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-e^x<0,\forall x\in (-1;1).$
Do đó hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $[-1;1]$.

Giá trị lớn nhất của $g(x)$ trên $[-1;1]$ đạt tại $x=-1$:
${\max }_{[-1;1]}g(x)=g(-1)=f(-1)-e^{-1}=f(-1)-\frac{1}{e}.$

Để bất phương trình đúng với mọi $x\in (-1;1)$, điều kiện cần và đủ là:
$m\ge {\max }_{[-1;1]}g(x)\iff m\ge f(-1)-\frac{1}{e}.$