Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$. Biết $f^{\prime }(0)=3,f^{\prime }(2)=-2019$ và bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(x)$ như sau:

Hàm số $y=f(x+2018)+2019x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

Xét hàm số $g(x)=f(x+2018)+2019x$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2018)+2019$.
$g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(x+2018)=-2019$.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(x)$, ta có bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$:
- Trên khoảng $(-\infty ;0)$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ nên $f^{\prime }(x)$ đồng biến tăng từ $-\infty$ lên $f^{\prime }(0)=3$. Vì $-2019<3$ nên tồn tại duy nhất số $a<0$ sao cho $f^{\prime }(a)=-2019$.
- Trên khoảng $(0;2)$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ nên $f^{\prime }(x)$ nghịch biến giảm từ $3$ xuống $f^{\prime }(2)=-2019$.
- Trên khoảng $(2;+\infty )$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ nên $f^{\prime }(x)$ đồng biến tăng từ $-2019$ lên $+\infty$.
Do đó phương trình $f^{\prime }(t)=-2019$ có hai nghiệm là $t=a<0$ và $t=2$.
Suy ra phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺[\begin{array}{l}x+2018=a\\ x+2018=2\end{array}⟺[\begin{array}{l}x=a-2018<-2018\\ x=-2016\end{array}$
Lập bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$:
- Khi $x<a-2018$, $t<a⟹f^{\prime }(t)<-2019⟹g^{\prime }(x)<0$.
- Khi $a-2018<x<-2016$, $a<t<2⟹f^{\prime }(t)>-2019⟹g^{\prime }(x)>0$.
- Khi $x>-2016$, $t>2⟹f^{\prime }(t)>-2019⟹g^{\prime }(x)>0$.
Do đó $g(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;a-2018)$ và đồng biến trên $(a-2018;+\infty )$.
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0=a-2018\in (-\infty ;-2018)$. Chọn A.