Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-8)(x^2-9)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $g(x)=f(|x^3+6x|+m)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị?

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-3;3;8\}$.
Hàm số $g(x)=f(|x^3+6x|+m)$ là hàm số chẵn vì $g(-x)=g(x)$.
Do đó $g(x)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi nó có ít nhất $1$ điểm cực trị dương (kết hợp với điểm cực trị $x=0$ và điểm cực trị âm đối xứng sẽ tạo ra ít nhất $3$ điểm cực trị).
Với $x>0$, ta có $u=x^3+6x>0$ là hàm số đồng biến với $u(0)=0$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=(3x^2+6)f^{\prime }(u+m)$.
Phương trình $f^{\prime }(u+m)=0\iff [\begin{array}{rl}& u+m=8\iff u=8-m\\ & u+m=3\iff u=3-m\\ & u+m=-3\iff u=-3-m<0\text{ (loại vıˋ }m>0\text{)}\end{array}$.
Để có ít nhất một nghiệm $u>0$, ta cần giá trị lớn nhất trong hai giá trị trên phải dương:
$8-m>0\iff m<8$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$.
Vậy có $7$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn.