Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=5$ và $xf(1-x^3)+f^{\prime }(x)=x^7-5x^4+7x+3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

Nhân hai vế với $-3x^2$ rồi lấy tích phân từ $0$ đến $1$: ${\int }_0^1[-3x^{3}f(1-x^3)-3x^2{f}^{\prime }(x)]\mathrm{d}x={\int }_0^1(-3x^9+15x^6-21x^3-9x^2)\mathrm{d}x$ (hoặc nhân hai vế của $xf(1-x^3)+f^{\prime }(x)=x^7-5x^4+7x+3$ với $-3x$ như lời giải trong đề: chú ý đổi biến $t=1-x^3$ cho ${\int }_0^1-3x^{2}f(1-x^3)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t$, trong đề gốc đã thiết lập ${\int }_0^1[-3x^{2}f(1-x^3)-3x{f}^{\prime }(x)]\mathrm{d}x={\int }_0^1(-3x^8+15x^5-21x^2-9x)\mathrm{d}x=-\frac{28}{3}$). Tích phân từng phần ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(1)-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=5-I$, suy ra $-I-3(5-I)=-\frac{28}{3}\iff 2I=15-\frac{28}{3}=\frac{17}{3}\Rightarrow I=\frac{17}{6}$. Chọn D.