Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ



Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{(f(x+1)-4)\sqrt{x^2-4}}$ là

Điều kiện xác định: $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ và $f(x+1)\ne 4$. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên $y=0$ là $1$ tiệm cận ngang. Tại $x=-2$: $f(-1)=-8\ne 4$ nên ${\lim }_{x\to (-2{)}^{-}}y=-\infty ⟹x=-2$ là tiệm cận đứng. Tại $x=2$: $f(3)\in (4;10)⟹f(3)\ne 4$ nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty ⟹x=2$ là tiệm cận đứng. Phương trình $f(x+1)=4$ với $u=x+1\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$ có đúng $1$ nghiệm đơn $u_0>4$ (tức $x_0=u_0-1>3$), cho thêm $1$ tiệm cận đứng $x=x_0$. Vậy đồ thị hàm số có $1+3=4$ đường tiệm cận.