Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f(x)=(e^{2x}-4e^x-m{)}^2$ xét trên đoạn $[0;\ln 4]$ thỏa mãn $\max f(x)\ge 3\min f(x)$?

Đặt $t=e^x\in [1;4]$, khi đó $u=t^2-4t$ có tập giá trị trên $[1;4]$ là $[-4;0]$. Nếu $m\in [-4;0]$ thì $\min f(x)=0$ nên bất đẳng thức $\max f(x)\ge 3\min f(x)$ luôn đúng. Nếu $m>0$ thì $\min f(x)=m^2,\max f(x)=(m+4{)}^2$, nên $(m+4{)}^2\ge 3m^2⟺m\le 2(\sqrt{3}+1)\approx 5,46$. Nếu $m<-4$ thì $\min f(x)=(m+4{)}^2,\max f(x)=m^2$, nên $m^2\ge 3(m+4{)}^2⟺m\ge -4-2(\sqrt{3}+1)\approx -9,46$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-9;-8;\dots ;5\}$, có $15$ giá trị nguyên.