Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:



Đặt $g(x)=f^2[2f(x)+1]$. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $g^{\prime }(x)=0$ là

Ta có $g^{\prime }(x)=2f[2f(x)+1]\cdot f^{\prime }[2f(x)+1]\cdot 2f^{\prime }(x)=4f^{\prime }(x)\cdot f[2f(x)+1]\cdot f^{\prime }[2f(x)+1]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=0(1)\\ f[2f(x)+1]=0(2)\\ f^{\prime }[2f(x)+1]=0(3)\end{array}$
Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
- $f^{\prime }(x)=0\iff x=-3$ hoặc $x=0$. (2 nghiệm)
- Xét (2): $f(u)=0\iff u=0$ (vì hàm số có $y_{CD}=0$ tại $x=-3$). Do đó $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$.
Trên khoảng $(-\infty ;0)$, giá trị cực đại là 0, cực tiểu là $-2$, nên đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thuộc $(-\infty ;0)$ và cắt nhánh $(0;+\infty )$ tại 1 điểm, tổng cộng cho 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1).
- Xét (3): $f^{\prime }(u)=0\iff u=-3$ hoặc $u=0$, tương ứng $2f(x)+1=-3\iff f(x)=-2$ (nghiệm kép $x=0$), hoặc $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$ (trùng với (2)).
Tổng hợp lại, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án A.