Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-3;-2;a;b;3;c;5$ với $-2<a<-1$; $1<b<2$; $4<c<5$ (có dạng như hình vẽ bên dưới).



Hàm số $g(x)=f(x^2-2x-3)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Chọn A.
Ta có $g^{\prime }(x)=(2x-2)f^{\prime }(x^2-2x-3)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x^2-2x-3=x_i$ với $x_i\in \{-3,-2,a,b,3,c,5\}$.
Xét parabol $u(x)=x^2-2x-3$ có đỉnh tại $(1;-4)$, bề lõm hướng lên.
Vì tất cả các giá trị $x_i>-4$ nên mỗi phương trình $u(x)=x_i$ đều có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Có 6 nghiệm mà tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (nghiệm bội lẻ) và điểm $x=1$, tổng cộng cho ta 13 điểm cực trị.
Vậy hàm số $g(x)$ có 13 điểm cực trị.