Cho hàm số $y=f(x)$ có $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm nguyên dương của bất phương trình $f\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)\ge f(10)$. Số phần tử của $S$ là:

Vì $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f\left(\frac{x^2+1}{x-2}\right)\ge f(10)\iff \frac{x^2+1}{x-2}\le 10$.
- Xét $x-2>0\iff x>2$: Bất phương trình tương đương với $x^2+1\le 10x-20\iff x^2-10x+21\le 0\iff 3\le x\le 7$. Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{3,4,5,6,7\}$ (5 giá trị).
- Xét $x-2<0\iff x<2$: Vì $x$ nguyên dương nên $x=1$. Thay $x=1$ vào ta có $\frac{1^2+1}{1-2}=-2\le 10$ (luôn đúng). Vậy $x=1$ là nghiệm.
Tập hợp các nghiệm nguyên dương là $S=\{1,3,4,5,6,7\}$, gồm 6 phần tử. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.