Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên:



Đặt $h(x)=3f(x)-x^3+3x$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

**Chọn D**





Ta có: $h^{\prime }(x)=3f^{\prime }(x)-3x^2+3=3[f^{\prime }(x)-(x^2-1)]$.
Xét tương giao giữa đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ và parabol $(P):y=x^2-1$ trên $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$:
Trên $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ luôn nằm phía dưới parabol $y=x^2-1$, tiếp xúc tại $x=-\sqrt{3},x=0,x=\sqrt{3}$.
Do đó $h^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in [-\sqrt{3};\sqrt{3}]$.
Hàm số $h(x)$ nghịch biến trên $[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$.
Vậy ${\max }_{[-\sqrt{3};\sqrt{3}]}h(x)=h(-\sqrt{3})=3f(-\sqrt{3})-(-\sqrt{3}{)}^3+3(-\sqrt{3})=3f(-\sqrt{3})$.