Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $x+y>0,-20\le x\le 20$ và ${\log }_2(x+2y)+x^2+2y^2+3xy-x-y=0$?

**Chọn B**

Ta biến đổi phương trình:
${\log }_2(x+2y)+(x+2y)(x+y)-(x+y)=0\iff {\log }_2(x+2y)=(x+y)[1-(x+2y)]$.
Vì $x+y>0$ và $x+2y>0$:
- Nếu $x+2y>1\Rightarrow {\log }_2(x+2y)>0$, trong khi $(x+y)[1-(x+2y)]<0$ (mâu thuẫn).
- Nếu $0<x+2y<1\Rightarrow {\log }_2(x+2y)<0$, trong khi $(x+y)[1-(x+2y)]>0$ (mâu thuẫn).
Do đó bắt buộc $x+2y=1\iff 2y=1-x$.
Vì $y$ nguyên nên $1-x$ phải là số chẵn $\iff x$ là số lẻ.
Lại có $x+y>0\iff x+\frac{1-x}{2}>0\iff \frac{x+1}{2}>0\iff x>-1$.
Kết hợp với điều kiện $-20\le x\le 20$, ta có $x$ là số nguyên lẻ thuộc $(-1;20]$:
$x\in \{1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\}$.
Có đúng $10$ giá trị của $x$, tương ứng với $10$ giá trị nguyên của $y$.
Vậy có $10$ cặp số nguyên thỏa mãn.