Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có bốn nghiệm phân biệt $a,0,b,c$ với $a<0<b<c$.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta lập bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[a;c]$:
- Trên $(a;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(a)<f(0)$.
- Trên $(0;b)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ nghịch biến, suy ra $f(b)<f(0)$.
- Trên $(b;c)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(b)<f(c)$.
So sánh diện tích hình phẳng: phần hình phẳng phía dưới trục hoành từ $0$ đến $b$ có diện tích lớn hơn phần phía trên trục hoành từ $b$ đến $c$, do đó $f(c)-f(b)<f(0)-f(b)\Rightarrow f(c)<f(0)$. So sánh $f(a)$ và $f(c)$: diện tích từ $a$ đến $0$ lớn hơn phần bù, dẫn đến $f(a)>f(c)>f(b)$. Chọn A.