Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x+1)$ được cho trong hình bên.


Hàm số $g(x)=f(2x)-2x^2+2x$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$ bằng

Chọn A.
Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x)-4x+2=2[f^{\prime }(2x)-(2x-1)]$.
Đặt $t+1=2x⟺t=2x-1$. Khi $x\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$ thì $t\in [-2;2]$.
Khi đó $g^{\prime }(x)=2[f^{\prime }(t+1)-t]$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(t+1)=t$.
Dựa vào đồ thị của $y=f^{\prime }(t+1)$ và đường thẳng $y=t$ trên đoạn $[-2;2]$:
- Tại $t=1⟺x=1$, đường thẳng cắt đồ thị và đồ thị chuyển từ phía trên xuống phía dưới đường thẳng (đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm).
Do đó hàm số $g(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$:
$$\underset{\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]}{\max }g(x)=g(1)=f(2)-2(1{)}^2+2(1)=f(2).$$