Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{b}{2a+2}\right)=a-b$. Giá trị nhỏ nhất của $P=b+\frac{9}{a+2}$ là

Chọn B.
Từ giả thiết:
$${\log }_{2}b-{\log }_2(2a+2)=a-b⟺{\log }_{2}b-{\log }_2(a+1)-1=a-b$$
$$⟺{\log }_{2}b+b={\log }_2(a+1)+a+1.$$
Xét hàm số đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $b=a+1$.
Thay $b=a+1$ vào biểu thức $P$:
$$P=a+1+\frac{9}{a+2}=a+2+\frac{9}{a+2}-1.$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $a+2$ và $\frac{9}{a+2}$:
$$P\ge 2\sqrt{(a+2)\cdot \frac{9}{a+2}}-1=2\cdot 3-1=5.$$
Dấu bằng xảy ra khi $a+2=\frac{9}{a+2}⟺(a+2{)}^2=9⟺a+2=3⟺a=1$ (thỏa mãn $a>0$).
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5$.